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樟蔭レポート

高校1年生(国際教養コース)の数学で「パスカルの三角形」を取り上げました。「パスカルの三角形」とは、(a+b)^n (←(a+b)のn乗)の展開における係数を三角形状にならべたものです。

この「パスカルの三角形」を考察すると、様々な発見(性質)があり、書籍やネットでもたくさん紹介されています。今回の授業では、その中でも「自己相似性」について取り上げてみました。

まず、パスカルの三角形で並ぶ数字を用意して、これを奇数と偶数に色分けします。例えば、奇数を黒く塗り、偶数は白のままにしておくとしましょう。

これを繰り返すと、下のような模様が出来上がっていきます。


これをよく観察してみると、下の図のようなものが集まって、また同じようなものが出来上がり、さらにまたこれらが集まって同じようなものが出来上がっていることがわかると思います。

これとよく似た性質をもつ身近なものがブロッコリーやロマネスコです。

このように全体と部分が相似である性質のことを「自己相似性」といいます。他にも海岸線の地形や金融市場の価格変動などにも現れるところがあります。

「自己相似性」は様々な所で見られます。そう考えると、私たちの時間の過ごし方も「自己相似性」を含んでいるかもしれません。一日の過ごし方が一年の過ごし方となり、やがて人生そのものを形作っていくのではないでしょうか。

荒金 諭